Олимпиадные задачи

 

1. Найдите все тройки целых чисел (а, Ь, с), таких, что

а2Ь + Ь2с + с2а = 23,     ab2 + bс2 + cа2 = 25.

 

2. Три действительных числа a, b и с удовлетворяют условиям

а3 + b3 + с3 + 5abc = 2,     (а + b + c)(ab + bc + сa) = 2.

Докажите, что одно из этих чисел равно сумме двух других

 

3. х и у – целые числа, такие, что 3х + 7у делится на 19. Докажите, что 43х +75у  тоже делится на 19.

 

4. Доказать, что для любых целых m и n число mn(5m+4)(7n+2)       можно представить в виде разности квадратов двух целых чисел.

 

  1. Квадраты со сторонами 15 дм и 17 дм пересекаются. После удаления их общей части остались две области. Чему равна разность их площадей?

 

  1. Можно ли провести из одной точки на плоскости пять лучей так, чтобы среди образованных ими углов было ровно четыре острых? Рассматриваются углы не только между соседними лучами.

 

7. Расшифруйте арифметический ребус, в котором разные буквы обозначают разные цифры, а одинаковые буквы — одинаковые цифры:

8. В автобусе вам попался билет с номером 524 127. Попробуйте, не меняя порядка цифр, расставить между ними знаки математических действий и скобки так, чтобы в итоге получилось 100.

9.      Если к данному двузначному числу один раз приписать цифру 3 спереди, а другой раз  - цифру 8 сзади, то первый результат будут вдвое меньше второго. Найдите это число.

10.  Маша задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15. Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.

11.В числе 3 728 954 106 зачеркнуть три цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили бы наименьшее семизначное число.

12.Как разложить 7 алмазов  в четыре одинаковых шкатулки, чтобы вес всех шкатулок получился одинаковым, если вес алмазов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 граммов. Ответ обоснуйте

13.У Незнайки в двух карманах лежит 27 конфет. Если из правого кармана он переложит в левый карман столько конфет, сколько было в левом, то в правом кармане у него будет на 3 конфеты больше, чем в левом. Сколько конфет было в каждом кармане первоначально?

14.Участок размером   40 х 50 м выделен под огороды и обнесен снаружи оградой. Как установить внутри участка 6 прямолинейных оград одинаковой длины, чтобы разбить участок на   5 прямоугольных участков одинаковой площади?

15.Три землекопа за два часа выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за пять часов?

16.В  коробке  30 одинаковых фломастеров: по 5 фломастеров черного, красного, зеленого, синего, желтого и коричневого цветов. Какое наименьшее число фломастеров наугад необходимо взять из коробки, чтобы среди них было хотя бы три фломастера каких-либо трех различных цветов?

 

 

Ответы

  1.  43х + 75у = (3х +7у)8 + ( х+у)19 , где каждое слагаемое делится на 19.
  2. mn( 5m+ 4)(7n+2)= x2-y2  (x,y-целые)

mn( 5m+ 4)(7n+2)=(x-y)(x+y)

n( 5m+ 4)m(7n+2)=(x-y)(x+y)

( 5mn+ 4n)(7nm+2m)=(x-y)(x+y)

Подберем такие  х и  у,  чтобы  x-y=5mn+4n, x+y=7nm+2m

x-y=5mn+4n

x+y=7nm+2m

Откуда  x=6mn+m+2n,  у= mn+m-2n,

Тогда mn( 5m+ 4)(7n+2)=( 6mn+m+2n)2-(mn+m-2n)2

 

  1.  Если обозначить через S площадь удаленной части, то

(172-S) - (152-S) =289- S -225 + S =289-225=64 (дм2)

Ответ: 64дм2.

 

 

 

 


  1.  Ответ: Можно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


7. Ответ: А = 1, В = 9.

 

8. 5 · (-2 + 4) · (1 + 2 + 7) = 100.

 

9. Пусть число . Если приписать цифру 3 спереди, то получится число , если припишем цифру 8 сзади, то получим число , которое вдвое больше , т.е.

;   2(300 + 10а + в) = 100 а + 10 b + 8.

600 + 20а + 2b = 100 а + 10 b + 8.

80 а + 8 b = 592.

10 а+ b = 74.

10а +  b = 70 + 4. Отсюда а = 7, b = 4. Искомое число 74.

10. Ответ: 17. Первый способ. Остаток при делении числа на 3 не превосходит 2, при делении на 6 - не превосходит 5, при делении на 9 - не превосходит 8. Так как сумма этих остатков равна 15 = 2 + 5 + 8, они равны соответственно 2, 5 и 8.
Дальнейшее рассуждение можно проводить по-разному.
1) Так как задуманное число дает остаток 8 при делении на 9 , то при делении на 18 оно может давать остаток 8 или остаток 17 . В первом случае остаток при делении на 6 равен 2 , что противоречит условию. Во втором случае условие задачи выполняется.
2) Задуманное число, увеличенное на 1, делится на 3, 6 и 9, следовательно, оно делится и на 18. Следовательно, задуманное Машей число при делении на 18 дает остаток 17. Второй способ. По остатку от деления числа на 18 можно определить остатки от деления этого числа на 3, 6 и 9. Таким образом, для решения задачи достаточно перебрать все возможные остатки при делении на 18, и для каждого из них проверить сумму остатков при делении на 3, 6 и 9. Перебор можно оформить в виде таблицы:

остаток при

делении на 18

остаток при

делении на 9

остаток при

делении на 6

остаток при

делении на 3

0

0

0

0

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

0

4

4

4

1

5

5

5

2

6

6

0

0

7

7

1

1

8

8

2

2

9

0

3

0

10

1

4

1

11

2

5

2

12

3

0

0

13

4

1

1

14

5

2

2

15

6

3

0

16

7

4

1

17

8

5

2

Из таблицы видно, что при делении на 18 может получиться только остаток 17.

15.  Шесть землекопов за 2 часа выкопают 3 · 2 = 6 ям. Шесть землекопов за 10 часов выкопают 6·5=30 ям. Тогда шесть землекопов за 5 часов выкопают 30: 2 = 15 ям.

16.  В худшем случае могут быть взяты  10 фломастеров (по  5 фломастеров двух цветов), среди которых не  будет трех фломастеров каких-либо трех различных цветов. После этого, если из коробки вытащить еще один фломастер из оставшихся, то среди 11 взятых фломастеров обязательно будут три фломастера трех различных цветов.

Ответ: 11.

11.  Ответ: 2 854 106.

Указание. Удобно предварительно рассматри­вать случаи, когда зачеркивается одна или две цифры.

 

12.    7, 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4

13.    Заберем 3 конфеты из правого кармана. Теперь в обоих карманах поровну,  т.е. (27-3):2=12. До перекладывания в левом кармане их было в 2 раза меньше, т.е. 12:2=6. Ответ 6 конфет.

14.